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SpecialFanoFourfolds :: SpecialCubicFourfold

SpecialCubicFourfold -- the class of all special cubic fourfolds

Description

A cubic fourfold is a smooth cubic hypersurface in 5. A cubic fourfold X⊂ℙ5 is special of discriminant d>6 if it contains an algebraic surface S, and the discriminant of the saturated lattice spanned by h2 and [S] in H2,2(X,ℤ):=H4(X,ℤ)∩H2X2) is d, where h denotes the class of a hyperplane section of X. The set Cd of special cubic fourfolds of discriminant d is either empty or an irreducible divisor inside the moduli space of cubic fourfolds C. Moreover, Cd≠Ø if and only if d>6 and d=0 or 2 (mod 6). For the general theory, see the papers Special cubic fourfolds and Some rational cubic fourfolds, by B. Hassett.

An object of the class SpecialCubicFourfold is basically a couple (S,X), where X is (the principal ideal of) a cubic fourfold and S is (the ideal of) a surface contained in X. The surface S is required to be smooth or with at most a finite number n of non-normal nodes. This number n, if positive, must be specified manually using the option NumNodes. The discriminant d of a special cubic fourfold can be calculated by the method discriminant(SpecialCubicFourfold). This calculation passes through the determination of the topological Euler characteristic of the surface, which is obtained thanks to the methods EulerCharacteristic and Euler (the option Algorithm allows you to select the method).

Some special cubic fourfolds are known to be rational. The method parametrize(SpecialCubicFourfold) can compute the birational map from 4 (or, e.g., from a quadric hypersurface in 5) to the fourfold.

The main constructor for the objects of the class is the method specialCubicFourfold. In the following example, we construct a special cubic fourfold X which contains a quintic del Pezzo surface. Then we verify that its discriminant is 14, and we also get a birational parameterization 4--->X.

i1 : K = ZZ/33331; ringP5 = K[x_0..x_5];
i3 : idealS = ideal(x_2*x_4-x_1*x_5,x_0*x_4-x_1*x_5-x_3*x_5+x_4*x_5,x_2*x_3-x_0*x_5,x_1*x_3-x_1*x_5-x_3*x_5+x_4*x_5,x_0*x_1-x_1*x_2-x_0*x_5+x_1*x_5);

o3 : Ideal of ringP5
i4 : idealX = ideal(x_0*x_1*x_2-x_1*x_2^2+x_1^2*x_3+x_0*x_2*x_3+x_0^2*x_4+x_0*x_2*x_4+x_1*x_2*x_4+x_0*x_3*x_4+x_1*x_3*x_4+x_2*x_3*x_4+x_0*x_4^2-x_0^2*x_5-2*x_1^2*x_5-x_0*x_2*x_5-x_1*x_2*x_5-x_0*x_3*x_5-2*x_1*x_3*x_5-x_3^2*x_5-x_1*x_4*x_5+2*x_2*x_4*x_5-x_3*x_4*x_5+2*x_4^2*x_5-2*x_0*x_5^2);

o4 : Ideal of ringP5
i5 : time X = specialCubicFourfold(idealS,idealX);
     -- used 0.0458724 seconds

o5 : SpecialCubicFourfold (Cubic fourfold containing a surface of degree 5 and sectional genus 1)
i6 : time discriminant X
     -- used 0.0579156 seconds

o6 = 14
i7 : time phi = parametrize X
     -- used 0.140429 seconds

o7 = -- rational map --
     source: Proj(K[y , y , y , y , y ])
                     0   1   2   3   4
     target: subvariety of Proj(K[x , x , x , x , x , x ]) defined by
                                   0   1   2   3   4   5
             {
                          2    2               2                                                     2    2       2                                           2                                   2         2
              x x x  - x x  + x x  + x x x  + x x  + x x x  + x x x  + x x x  + x x x  + x x x  + x x  - x x  - 2x x  - x x x  - x x x  - x x x  - 2x x x  - x x  - x x x  + 2x x x  - x x x  + 2x x  - 2x x
               0 1 2    1 2    1 3    0 2 3    0 4    0 2 4    1 2 4    0 3 4    1 3 4    2 3 4    0 4    0 5     1 5    0 2 5    1 2 5    0 3 5     1 3 5    3 5    1 4 5     2 4 5    3 4 5     4 5     0 5
             }
     defining forms: {
                       2 2      3    2          2      3          2    2 2    2        2          2        2      2 2        2        2    2          2      3                  2                                            2        2          2        2         2    2 2        2        2    2 2      3
                      y y  - y y  + y y y  - y y y  - y y  - y y y  - y y  - y y y  + y y y  + y y y  + y y y  - y y  + y y y  + y y y  - y y y  + y y y  - y y  + 4y y y y  + y y y  - y y y y  - 2y y y y  + y y y y  + y y y  - y y y  - y y y  + y y y  + 2y y y  - y y  + y y y  - y y y  + y y  + y y ,
                       0 1    0 1    0 1 2    0 1 2    1 2    0 1 2    1 2    0 2 3    1 2 3    0 2 3    1 2 3    0 3    0 1 3    0 2 3    0 1 4    0 1 4    1 4     0 1 2 4    0 3 4    0 1 3 4     0 2 3 4    1 2 3 4    1 3 4    2 3 4    0 1 4    0 2 4     1 2 4    2 4    0 3 4    1 3 4    3 4    2 4
                      
                           2                 2            2        2      3    2          2      2          2      2                   2                   2          2      2 2        2    2 2        2        2        2        2        2      3
                      - y y y  - y y y y  - y y y  + y y y  + y y y  + y y  + y y y  + y y y  - y y y  - y y y  + y y y  - y y y y  + y y y  + y y y y  + y y y  - y y y  + y y  + y y y  + y y  - y y y  + y y y  + y y y  - y y y  - y y y  + y y ,
                         0 1 3    0 1 2 3    1 2 3    0 2 3    1 2 3    0 3    0 1 4    0 1 4    1 2 4    1 2 4    0 3 4    0 1 3 4    1 3 4    1 2 3 4    2 3 4    1 3 4    0 4    0 1 4    1 4    0 2 4    1 2 4    0 3 4    1 3 4    2 3 4    0 4
                      
                       3      2 2    3      2          2      2 2        2    3      2        2                     2        2          2    3      2          2       2                     2      3                                       2 2        2        2    2 2        2
                      y y  - y y  + y y  - y y y  - y y y  - y y  - y y y  + y y  - y y y  - y y y  + y y y y  + y y y  + y y y  + y y y  - y y  + y y y  - y y y  + 3y y y  - y y y y  + y y y  + y y  - y y y y  + y y y y  - y y y y  - y y  + y y y  - y y y  - y y  - y y y ,
                       0 1    0 1    0 2    0 1 2    0 1 2    0 2    0 1 2    0 3    0 1 3    0 2 3    0 1 2 3    0 2 3    1 2 3    0 2 3    0 4    0 1 4    0 1 4     0 2 4    0 1 2 4    1 2 4    2 4    0 1 3 4    0 2 3 4    1 2 3 4    0 4    0 2 4    1 2 4    2 4    0 3 4
                      
                         2        3       2 2      3      2      3      2                     2           2      3           2         2      3      3      3    2        2          2        2                                          2        2      3          2        2
                      - y y y  + y y  + 2y y  + y y  + y y y  - y y  - y y y  + 4y y y y  - 2y y y  - 2y y y  - y y  - 2y y y  + 2y y y  - y y  + y y  - y y  - y y y  - y y y  + y y y  - y y y  - y y y y  - y y y y  + 3y y y y  + y y y  - y y y  + y y  - y y y  + y y y ,
                         0 1 2    1 2     1 2    1 2    0 1 3    1 3    0 2 3     0 1 2 3     1 2 3     1 2 3    2 3     0 2 3     1 2 3    0 3    1 3    2 3    0 2 4    1 2 4    0 2 4    1 2 4    0 1 3 4    0 2 3 4     1 2 3 4    0 3 4    1 3 4    3 4    0 2 4    2 3 4
                      
                         3        3       2          2    3       2           2      3                    2      2 2         2    2 2      3    3      3      2                   2        2                    2                   2 2        2
                      - y y  + y y  + 2y y y  + y y y  - y y  + 3y y y  - 2y y y  + y y  - 2y y y y  - y y y  - y y  + 2y y y  - y y  - y y  - y y  + y y  + y y y  - y y y y  + y y y  - y y y  + 2y y y y  - y y y  - y y y y  - y y  + y y y ,
                         0 1    0 1     0 1 2    0 1 2    0 3     0 1 3     0 1 3    1 3     0 1 2 3    0 2 3    0 3     0 1 3    1 3    0 3    0 4    1 4    0 2 4    0 1 2 4    1 2 4    0 3 4     0 1 3 4    1 3 4    1 2 3 4    0 4    0 1 4
                      
                       2          2      2        2        2 2        2               2          2      2          2          2
                      y y y  - y y y  + y y y  - y y y  + y y  - y y y  - y y y y  - y y y  - y y y  - y y y  - y y y  - y y y
                       0 1 3    0 1 3    0 2 3    1 2 3    0 3    0 1 3    0 1 2 4    1 2 4    1 2 4    0 3 4    0 3 4    0 2 4
                     }

o7 : RationalMap (birational map from PP^4 to hypersurface in PP^5)
i8 : describe phi

o8 = rational map defined by forms of degree 4
     source variety: PP^4
     target variety: smooth cubic hypersurface in PP^5
     dominance: true
     birationality: true (the inverse map is known)
     coefficient ring: K

Functions and methods returning an object of class SpecialCubicFourfold :

Methods that use an object of class SpecialCubicFourfold :

For the programmer

The object SpecialCubicFourfold is a type, with ancestor classes MutableHashTable < HashTable < Thing.