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SpecialFanoFourfolds :: SpecialGushelMukaiFourfold

SpecialGushelMukaiFourfold -- the class of all special Gushel-Mukai fourfolds

Description

An (ordinary) Gushel-Mukai fourfold is the intersection of a smooth del Pezzo fivefold G(1,4)∩ℙ8⊂ℙ8 with a quadric hypersurface in 8. A Gushel-Mukai fourfold is said to be special if it contains a surface whose cohomology class does not come from the Grassmannian G(1,4). The special Gushel-Mukai fourfolds are parametrized by a countable union of (not necessarily irreducible) hypersurfaces in the corresponding moduli space, labelled by the positive integers d = 0,2,4 (mod 8). For precise definition and results, we refer mainly to the paper Special prime Fano fourfolds of degree 10 and index 2, by O. Debarre, A. Iliev, and L. Manivel.

The above integer d is called discriminant, and it can be computed by the method discriminant(SpecialGushelMukaiFourfold). The method just applies a formula given in Section 7 of the aforementioned paper, obtaining the data required through the methods cycleClass, EulerCharacteristic and Euler (the option Algorithm allows you to select the method).

Some special Gushel-Mukai fourfolds are known to be rational. The method parametrize(SpecialGushelMukaiFourfold) can compute the birational map from 4 (or, e.g., from a quadric hypersurface in 5) to the fourfold.

The main constructor for the objects of the class SpecialGushelMukaiFourfold is the method specialGushelMukaiFourfold. In the following example, we construct a Gushel-Mukai fourfold containing a so-called τ-quadric. Then we verify that its discriminant is 10, and we also get a birational parameterization.

i1 : K = ZZ/33331; P8 = K[x_0..x_8];
i3 : S = ideal(x_6-x_7,x_5,x_3-x_4,x_1,x_0-x_4,x_2*x_7-x_4*x_8);

o3 : Ideal of P8
i4 : X = ideal(x_4*x_6-x_3*x_7+x_1*x_8,x_4*x_5-x_2*x_7+x_0*x_8,x_3*x_5-x_2*x_6+x_0*x_8+x_1*x_8-x_5*x_8,x_1*x_5-x_0*x_6+x_0*x_7+x_1*x_7-x_5*x_7,x_1*x_2-x_0*x_3+x_0*x_4+x_1*x_4-x_2*x_7+x_0*x_8,x_0^2+x_0*x_1+x_1^2+x_0*x_2+2*x_0*x_3+x_1*x_3+x_2*x_3+x_3^2-x_0*x_4-x_1*x_4-2*x_2*x_4-x_3*x_4-2*x_4^2+x_0*x_5+x_2*x_5+x_5^2+2*x_0*x_6+x_1*x_6+2*x_2*x_6+x_3*x_6+x_5*x_6+x_6^2-3*x_4*x_7+2*x_5*x_7-x_7^2+x_1*x_8+x_3*x_8-3*x_4*x_8+2*x_5*x_8+x_6*x_8-x_7*x_8);

o4 : Ideal of P8
i5 : time G = specialGushelMukaiFourfold(S,X);
     -- used 2.01632 seconds

o5 : SpecialGushelMukaiFourfold (Gushel-Mukai fourfold containing a surface of degree 2 and sectional genus 0)
i6 : time discriminant G
     -- used 1.02632 seconds

o6 = 10
i7 : time phi = parametrize G
     -- used 1.55946 seconds

o7 = -- rational map --
     source: Proj(K[y , y , y , y , y ])
                     0   1   2   3   4
     target: subvariety of Proj(K[x , x , x , x , x , x , x , x , x ]) defined by
                                   0   1   2   3   4   5   6   7   8
             {
              x x  - x x  + x x ,
               4 6    3 7    1 8
              
              x x  - x x  + x x ,
               4 5    2 7    0 8
              
              x x  - x x  + x x  + x x  - x x ,
               3 5    2 6    0 8    1 8    5 8
              
              x x  - x x  + x x  + x x  - x x ,
               1 5    0 6    0 7    1 7    5 7
              
              x x  - x x  + x x  + x x  - x x  + x x ,
               1 2    0 3    0 4    1 4    2 7    0 8
              
               2           2                                 2                                  2                  2                                         2                    2
              x  + x x  + x  + x x  + 2x x  + x x  + x x  + x  - x x  - x x  - 2x x  - x x  - 2x  + x x  + x x  + x  + 2x x  + x x  + 2x x  + x x  + x x  + x  - 3x x  + 2x x  - x  + x x  + x x  - 3x x  + 2x x  + x x  - x x
               0    0 1    1    0 2     0 3    1 3    2 3    3    0 4    1 4     2 4    3 4     4    0 5    2 5    5     0 6    1 6     2 6    3 6    5 6    6     4 7     5 7    7    1 8    3 8     4 8     5 8    6 8    7 8
             }
     defining forms: {
                         2          2      3                   2           2      2 2         2     2 2        2         2    2 2      3       3      3    4    2        3                 2        2                                              2         2           2    2 2         2    2 2
                      - y y y  - y y y  - y y  - 2y y y y  - 2y y y  - 2y y y  + y y  - 2y y y  - 2y y  + y y y  - 3y y y  + y y  + y y  - 2y y  + y y  + y  - y y y  + y y  - y y y y  + y y y  + y y y  - 2y y y y  + y y y y  - 3y y y y  + 2y y y  - 3y y y  - 2y y y  + y y  + 2y y y  - y y ,
                         0 1 3    0 1 3    1 3     0 1 2 3     1 2 3     1 2 3    0 3     0 1 3     1 3    0 2 3     1 2 3    2 3    0 3     1 3    2 3    3    0 1 4    1 4    0 1 2 4    1 2 4    0 3 4     0 1 3 4    0 2 3 4     1 2 3 4     0 3 4     1 3 4     0 1 4    1 4     0 3 4    3 4
                      
                         2        3      2                    2          2        2      2 2         2    2 2         2    2 2      3      3       3    4                2                                 2        2       3
                      - y y y  + y y  - y y y  - y y y y  + 2y y y  - y y y  + y y y  - y y  - 3y y y  + y y  - 3y y y  - y y  - y y  - y y  - 2y y  - y  - 2y y y y  + y y y  - 2y y y y  + y y y y  + y y y  - y y y  - 2y y ,
                         0 1 3    1 3    0 2 3    0 1 2 3     1 2 3    0 2 3    1 2 3    0 3     0 1 3    1 3     0 2 3    2 3    0 3    1 3     2 3    3     0 1 3 4    1 3 4     0 2 3 4    1 2 3 4    1 3 4    2 3 4     3 4
                      
                         2 2      3    4    2           2       3           2     2 2       3     2          2      3      2                    2          2      3      2 2         2         2      3       3    4     2          2      3                   2          2       2                    2                                2           2         2         2      3           2    2 2         2         2         2         2    2 2
                      - y y  - y y  - y  - y y y  - 3y y y  - 3y y  - 2y y y  - 4y y  - 2y y  + 2y y y  - y y y  - y y  + y y y  + y y y y  - 3y y y  + y y y  + y y  - y y  + 3y y y  + 2y y y  - y y  + 3y y  - y  + 2y y y  + y y y  - y y  + 2y y y y  - 2y y y  - y y y  - 2y y y  + 2y y y y  - y y y  - 2y y y y  + 2y y y y  - y y y  - 3y y y  + 3y y y  - 2y y y  - y y  + 2y y y  - y y  + 2y y y  - 2y y y  + 2y y y  - 2y y y  - y y ,
                         0 1    0 1    1    0 1 2     0 1 2     1 2     0 1 2     1 2     1 2     0 1 3    0 1 3    1 3    0 2 3    0 1 2 3     1 2 3    0 2 3    2 3    0 3     0 1 3     1 2 3    0 3     1 3    3     0 1 4    0 1 4    1 4     0 1 2 4     1 2 4    1 2 4     0 3 4     0 1 3 4    1 3 4     0 2 3 4     1 2 3 4    2 3 4     0 3 4     1 3 4     2 3 4    3 4     0 1 4    1 4     1 2 4     0 3 4     1 3 4     2 3 4    3 4
                      
                         2        3      2 2        2     2 2      3      3    2          2      3      2                    2           2         2      3      2 2         2     2 2         2    2 2      3       3    4    2                      2       2                   2                                   2         2      3           2        2         2        2        2    2 2
                      - y y y  + y y  - y y  - y y y  + 2y y  - y y  + y y  - y y y  - y y y  - y y  - y y y  - 5y y y y  - y y y  - 3y y y  - 2y y y  - y y  + y y  - 2y y y  - 2y y  - 4y y y  - y y  + y y  - 2y y  + y  + y y y  - 2y y y y  - y y y  + 2y y y  + y y y y  - y y y  + 4y y y y  - 2y y y y  + 3y y y  - 2y y y  + y y  + 2y y y  - y y y  + 2y y y  - y y y  + y y y  + y y ,
                         0 1 2    1 2    0 2    0 1 2     1 2    0 2    1 2    0 1 3    0 1 3    1 3    0 2 3     0 1 2 3    1 2 3     0 2 3     1 2 3    2 3    0 3     0 1 3     1 3     1 2 3    2 3    0 3     1 3    3    0 2 4     0 1 2 4    0 2 4     0 3 4    0 1 3 4    1 3 4     0 2 3 4     1 2 3 4     0 3 4     1 3 4    3 4     0 2 4    1 2 4     0 3 4    1 3 4    2 3 4    3 4
                      
                         2          2      3                   2           2      2 2         2     2 2        2         2    2 2      3       3      3    4    2        2          2        2       2                   2                                2           2         2         2      3           2        2         2        2        2    2 2
                      - y y y  - y y y  - y y  - 2y y y y  - 2y y y  - 2y y y  + y y  - 2y y y  - 2y y  + y y y  - 3y y y  + y y  + y y  - 2y y  + y y  + y  + y y y  - y y y  + y y y  - y y y  + 2y y y  + y y y y  - y y y  + 4y y y y  - 3y y y y  + y y y  + 3y y y  - 2y y y  + 2y y y  + y y  + 2y y y  - y y y  + 2y y y  - y y y  + y y y  + y y ,
                         0 1 3    0 1 3    1 3     0 1 2 3     1 2 3     1 2 3    0 3     0 1 3     1 3    0 2 3     1 2 3    2 3    0 3     1 3    2 3    3    0 2 4    1 2 4    0 2 4    1 2 4     0 3 4    0 1 3 4    1 3 4     0 2 3 4     1 2 3 4    2 3 4     0 3 4     1 3 4     2 3 4    3 4     0 2 4    1 2 4     0 3 4    1 3 4    2 3 4    3 4
                      
                         2 2    4    2          2       3          2    2 2    2           2      3                    2          2    2 2         2      3       2      3                  2        2                      2
                      - y y  + y  - y y y  - y y y  + 2y y  - y y y  + y y  - y y y  - 3y y y  + y y  - 3y y y y  - y y y  - y y y  - y y  - 2y y y  - y y  - 2y y y  + y y  - 2y y y y  + y y y  + y y y  - y y y y  - 2y y y ,
                         0 1    1    0 1 2    0 1 2     1 2    0 1 2    1 2    0 1 3     0 1 3    1 3     0 1 2 3    1 2 3    0 1 3    1 3     1 2 3    1 3     0 1 4    1 4     0 1 2 4    1 2 4    1 3 4    1 2 3 4     1 3 4
                      
                         3        3    3      2           2      2 2        2     2           2      3       2                    2          2          2     2 2        2         2      3    3       2        2         2                    2                                 2         2       2 2        2        2
                      - y y  + y y  - y y  - y y y  + 2y y y  - y y  + y y y  - 3y y y  + 2y y y  + y y  - 2y y y  + y y y y  + 2y y y  + y y y  - y y y  + 2y y  - y y y  + 2y y y  + y y  + y y  - 2y y y  - y y y  + 2y y y  - 2y y y y  + y y y  - y y y y  + y y y y  - 2y y y  + 2y y y  + 2y y  - y y y  - y y y ,
                         0 1    0 1    0 2    0 1 2     0 1 2    0 2    0 1 2     0 1 3     0 1 3    1 3     0 2 3    0 1 2 3     1 2 3    1 2 3    0 1 3     1 3    0 2 3     1 2 3    1 3    0 4     0 1 4    0 2 4     0 3 4     0 1 3 4    1 3 4    0 2 3 4    1 2 3 4     0 3 4     1 3 4     0 4    0 1 4    0 3 4
                      
                       3        2      3      2                    2          2        2      2 2     2 2        2         2      3      3    3        2      2                    2                    2                      2       2 2        2        2
                      y y  + y y y  + y y  + y y y  + y y y y  + 2y y y  + y y y  + y y y  + y y  + 2y y  + y y y  + 2y y y  + y y  + y y  + y y  - y y y  + y y y  - y y y y  + 2y y y  - 3y y y y  + y y y  + y y y y  + 2y y y  + 2y y  - y y y  - y y y ,
                       0 3    0 1 3    1 3    0 2 3    0 1 2 3     1 2 3    0 2 3    1 2 3    0 3     1 3    0 2 3     1 2 3    0 3    1 3    0 4    0 1 4    0 2 4    0 1 2 4     0 3 4     0 1 3 4    1 3 4    1 2 3 4     1 3 4     0 4    0 1 4    0 3 4
                      
                       3      2 2      3    3       2           2      3      2 2         2     2 2      3      3    3       2           2                   2           2      2 2         2        2      3     3      2          2       2        2          2        2       2                                              2       2 2        2         2        2
                      y y  + y y  + y y  + y y  + 2y y y  + 3y y y  + y y  + y y  + 3y y y  + 2y y  + y y  + y y  - y y  + 2y y y  + 2y y y  + 3y y y y  + 2y y y  + 2y y y  - y y  + 2y y y  + y y y  - y y  - 2y y  - y y y  + y y y  - 2y y y  + y y y  - y y y  + y y y  - 3y y y  + 2y y y y  - 2y y y y  + 2y y y y  - y y y  - 2y y  + y y y  - 2y y y  - y y y
                       0 1    0 1    0 1    0 2     0 1 2     0 1 2    1 2    0 2     0 1 2     1 2    0 2    1 2    0 3     0 1 3     0 1 3     0 1 2 3     1 2 3     1 2 3    0 3     0 1 3    1 2 3    0 3     0 4    0 1 4    0 1 4     0 2 4    1 2 4    0 2 4    1 2 4     0 3 4     0 1 3 4     0 2 3 4     1 2 3 4    0 3 4     0 4    0 1 4     0 2 4    0 3 4
                     }

o7 : RationalMap (birational map from PP^4 to 4-dimensional subvariety of PP^8)
i8 : describe phi

o8 = rational map defined by forms of degree 4
     source variety: PP^4
     target variety: 4-dimensional variety of degree 10 in PP^8 cut out by 6 hypersurfaces of degree 2
     dominance: true
     birationality: true (the inverse map is known)
     number of minimal representatives: 1
     dimension base locus: 2
     degree base locus: 8
     coefficient ring: K

Functions and methods returning an object of class SpecialGushelMukaiFourfold :

Methods that use an object of class SpecialGushelMukaiFourfold :

For the programmer

The object SpecialGushelMukaiFourfold is a type, with ancestor classes MutableHashTable < HashTable < Thing.