An (ordinary) Gushel-Mukai fourfold is the intersection of a smooth del Pezzo fivefold G(1,4)∩ℙ8⊂ℙ8 with a quadric hypersurface in ℙ8. A Gushel-Mukai fourfold is said to be special if it contains a surface whose cohomology class does not come from the Grassmannian G(1,4). The special Gushel-Mukai fourfolds are parametrized by a countable union of (not necessarily irreducible) hypersurfaces in the corresponding moduli space, labelled by the positive integers d = 0,2,4 (mod 8). For precise definition and results, we refer mainly to the paper Special prime Fano fourfolds of degree 10 and index 2, by O. Debarre, A. Iliev, and L. Manivel.
The above integer d is called discriminant, and it can be computed by the method discriminant(SpecialGushelMukaiFourfold). The method just applies a formula given in Section 7 of the aforementioned paper, obtaining the data required through the methods cycleClass, EulerCharacteristic and Euler (the option Algorithm allows you to select the method).
Some special Gushel-Mukai fourfolds are known to be rational. The method parametrize(SpecialGushelMukaiFourfold) can compute the birational map from ℙ4 (or, e.g., from a quadric hypersurface in ℙ5) to the fourfold.
The main constructor for the objects of the class SpecialGushelMukaiFourfold is the method specialGushelMukaiFourfold. In the following example, we construct a Gushel-Mukai fourfold containing a so-called τ-quadric. Then we verify that its discriminant is 10, and we also get a birational parameterization.
i1 : K = ZZ/33331; P8 = K[x_0..x_8]; |
i3 : S = ideal(x_6-x_7,x_5,x_3-x_4,x_1,x_0-x_4,x_2*x_7-x_4*x_8); o3 : Ideal of P8 |
i4 : X = ideal(x_4*x_6-x_3*x_7+x_1*x_8,x_4*x_5-x_2*x_7+x_0*x_8,x_3*x_5-x_2*x_6+x_0*x_8+x_1*x_8-x_5*x_8,x_1*x_5-x_0*x_6+x_0*x_7+x_1*x_7-x_5*x_7,x_1*x_2-x_0*x_3+x_0*x_4+x_1*x_4-x_2*x_7+x_0*x_8,x_0^2+x_0*x_1+x_1^2+x_0*x_2+2*x_0*x_3+x_1*x_3+x_2*x_3+x_3^2-x_0*x_4-x_1*x_4-2*x_2*x_4-x_3*x_4-2*x_4^2+x_0*x_5+x_2*x_5+x_5^2+2*x_0*x_6+x_1*x_6+2*x_2*x_6+x_3*x_6+x_5*x_6+x_6^2-3*x_4*x_7+2*x_5*x_7-x_7^2+x_1*x_8+x_3*x_8-3*x_4*x_8+2*x_5*x_8+x_6*x_8-x_7*x_8); o4 : Ideal of P8 |
i5 : time G = specialGushelMukaiFourfold(S,X); -- used 2.01632 seconds o5 : SpecialGushelMukaiFourfold (Gushel-Mukai fourfold containing a surface of degree 2 and sectional genus 0) |
i6 : time discriminant G -- used 1.02632 seconds o6 = 10 |
i7 : time phi = parametrize G -- used 1.55946 seconds o7 = -- rational map -- source: Proj(K[y , y , y , y , y ]) 0 1 2 3 4 target: subvariety of Proj(K[x , x , x , x , x , x , x , x , x ]) defined by 0 1 2 3 4 5 6 7 8 { x x - x x + x x , 4 6 3 7 1 8 x x - x x + x x , 4 5 2 7 0 8 x x - x x + x x + x x - x x , 3 5 2 6 0 8 1 8 5 8 x x - x x + x x + x x - x x , 1 5 0 6 0 7 1 7 5 7 x x - x x + x x + x x - x x + x x , 1 2 0 3 0 4 1 4 2 7 0 8 2 2 2 2 2 2 2 x + x x + x + x x + 2x x + x x + x x + x - x x - x x - 2x x - x x - 2x + x x + x x + x + 2x x + x x + 2x x + x x + x x + x - 3x x + 2x x - x + x x + x x - 3x x + 2x x + x x - x x 0 0 1 1 0 2 0 3 1 3 2 3 3 0 4 1 4 2 4 3 4 4 0 5 2 5 5 0 6 1 6 2 6 3 6 5 6 6 4 7 5 7 7 1 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 } defining forms: { 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 - y y y - y y y - y y - 2y y y y - 2y y y - 2y y y + y y - 2y y y - 2y y + y y y - 3y y y + y y + y y - 2y y + y y + y - y y y + y y - y y y y + y y y + y y y - 2y y y y + y y y y - 3y y y y + 2y y y - 3y y y - 2y y y + y y + 2y y y - y y , 0 1 3 0 1 3 1 3 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 3 0 1 3 1 3 0 2 3 1 2 3 2 3 0 3 1 3 2 3 3 0 1 4 1 4 0 1 2 4 1 2 4 0 3 4 0 1 3 4 0 2 3 4 1 2 3 4 0 3 4 1 3 4 0 1 4 1 4 0 3 4 3 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 2 2 2 3 - y y y + y y - y y y - y y y y + 2y y y - y y y + y y y - y y - 3y y y + y y - 3y y y - y y - y y - y y - 2y y - y - 2y y y y + y y y - 2y y y y + y y y y + y y y - y y y - 2y y , 0 1 3 1 3 0 2 3 0 1 2 3 1 2 3 0 2 3 1 2 3 0 3 0 1 3 1 3 0 2 3 2 3 0 3 1 3 2 3 3 0 1 3 4 1 3 4 0 2 3 4 1 2 3 4 1 3 4 2 3 4 3 4 2 2 3 4 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 3 4 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 - y y - y y - y - y y y - 3y y y - 3y y - 2y y y - 4y y - 2y y + 2y y y - y y y - y y + y y y + y y y y - 3y y y + y y y + y y - y y + 3y y y + 2y y y - y y + 3y y - y + 2y y y + y y y - y y + 2y y y y - 2y y y - y y y - 2y y y + 2y y y y - y y y - 2y y y y + 2y y y y - y y y - 3y y y + 3y y y - 2y y y - y y + 2y y y - y y + 2y y y - 2y y y + 2y y y - 2y y y - y y , 0 1 0 1 1 0 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 1 3 0 1 3 1 3 0 2 3 0 1 2 3 1 2 3 0 2 3 2 3 0 3 0 1 3 1 2 3 0 3 1 3 3 0 1 4 0 1 4 1 4 0 1 2 4 1 2 4 1 2 4 0 3 4 0 1 3 4 1 3 4 0 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 0 3 4 1 3 4 2 3 4 3 4 0 1 4 1 4 1 2 4 0 3 4 1 3 4 2 3 4 3 4 2 3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 4 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 - y y y + y y - y y - y y y + 2y y - y y + y y - y y y - y y y - y y - y y y - 5y y y y - y y y - 3y y y - 2y y y - y y + y y - 2y y y - 2y y - 4y y y - y y + y y - 2y y + y + y y y - 2y y y y - y y y + 2y y y + y y y y - y y y + 4y y y y - 2y y y y + 3y y y - 2y y y + y y + 2y y y - y y y + 2y y y - y y y + y y y + y y , 0 1 2 1 2 0 2 0 1 2 1 2 0 2 1 2 0 1 3 0 1 3 1 3 0 2 3 0 1 2 3 1 2 3 0 2 3 1 2 3 2 3 0 3 0 1 3 1 3 1 2 3 2 3 0 3 1 3 3 0 2 4 0 1 2 4 0 2 4 0 3 4 0 1 3 4 1 3 4 0 2 3 4 1 2 3 4 0 3 4 1 3 4 3 4 0 2 4 1 2 4 0 3 4 1 3 4 2 3 4 3 4 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 - y y y - y y y - y y - 2y y y y - 2y y y - 2y y y + y y - 2y y y - 2y y + y y y - 3y y y + y y + y y - 2y y + y y + y + y y y - y y y + y y y - y y y + 2y y y + y y y y - y y y + 4y y y y - 3y y y y + y y y + 3y y y - 2y y y + 2y y y + y y + 2y y y - y y y + 2y y y - y y y + y y y + y y , 0 1 3 0 1 3 1 3 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 3 0 1 3 1 3 0 2 3 1 2 3 2 3 0 3 1 3 2 3 3 0 2 4 1 2 4 0 2 4 1 2 4 0 3 4 0 1 3 4 1 3 4 0 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 0 3 4 1 3 4 2 3 4 3 4 0 2 4 1 2 4 0 3 4 1 3 4 2 3 4 3 4 2 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 - y y + y - y y y - y y y + 2y y - y y y + y y - y y y - 3y y y + y y - 3y y y y - y y y - y y y - y y - 2y y y - y y - 2y y y + y y - 2y y y y + y y y + y y y - y y y y - 2y y y , 0 1 1 0 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 1 3 0 1 3 1 3 0 1 2 3 1 2 3 0 1 3 1 3 1 2 3 1 3 0 1 4 1 4 0 1 2 4 1 2 4 1 3 4 1 2 3 4 1 3 4 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 - y y + y y - y y - y y y + 2y y y - y y + y y y - 3y y y + 2y y y + y y - 2y y y + y y y y + 2y y y + y y y - y y y + 2y y - y y y + 2y y y + y y + y y - 2y y y - y y y + 2y y y - 2y y y y + y y y - y y y y + y y y y - 2y y y + 2y y y + 2y y - y y y - y y y , 0 1 0 1 0 2 0 1 2 0 1 2 0 2 0 1 2 0 1 3 0 1 3 1 3 0 2 3 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 1 3 1 3 0 2 3 1 2 3 1 3 0 4 0 1 4 0 2 4 0 3 4 0 1 3 4 1 3 4 0 2 3 4 1 2 3 4 0 3 4 1 3 4 0 4 0 1 4 0 3 4 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y y + y y y + y y + y y y + y y y y + 2y y y + y y y + y y y + y y + 2y y + y y y + 2y y y + y y + y y + y y - y y y + y y y - y y y y + 2y y y - 3y y y y + y y y + y y y y + 2y y y + 2y y - y y y - y y y , 0 3 0 1 3 1 3 0 2 3 0 1 2 3 1 2 3 0 2 3 1 2 3 0 3 1 3 0 2 3 1 2 3 0 3 1 3 0 4 0 1 4 0 2 4 0 1 2 4 0 3 4 0 1 3 4 1 3 4 1 2 3 4 1 3 4 0 4 0 1 4 0 3 4 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y y + y y + y y + y y + 2y y y + 3y y y + y y + y y + 3y y y + 2y y + y y + y y - y y + 2y y y + 2y y y + 3y y y y + 2y y y + 2y y y - y y + 2y y y + y y y - y y - 2y y - y y y + y y y - 2y y y + y y y - y y y + y y y - 3y y y + 2y y y y - 2y y y y + 2y y y y - y y y - 2y y + y y y - 2y y y - y y y 0 1 0 1 0 1 0 2 0 1 2 0 1 2 1 2 0 2 0 1 2 1 2 0 2 1 2 0 3 0 1 3 0 1 3 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 3 0 1 3 1 2 3 0 3 0 4 0 1 4 0 1 4 0 2 4 1 2 4 0 2 4 1 2 4 0 3 4 0 1 3 4 0 2 3 4 1 2 3 4 0 3 4 0 4 0 1 4 0 2 4 0 3 4 } o7 : RationalMap (birational map from PP^4 to 4-dimensional subvariety of PP^8) |
i8 : describe phi o8 = rational map defined by forms of degree 4 source variety: PP^4 target variety: 4-dimensional variety of degree 10 in PP^8 cut out by 6 hypersurfaces of degree 2 dominance: true birationality: true (the inverse map is known) number of minimal representatives: 1 dimension base locus: 2 degree base locus: 8 coefficient ring: K |
The object SpecialGushelMukaiFourfold is a type, with ancestor classes MutableHashTable < HashTable < Thing.